Wie rechnet man mit Brüchen?

Vier Themen zum Umgang mit Brüchen werden auf dieser Seite diskutiert:

• Brüche kürzen
• Addition und Subtraktion von Brüchen
• Multiplikation von Brüchen
• Division von Brüchen (Doppelbrüche)

 

1. Brüche kürzen

Das Kürzen eines Bruches funktioniert auch, wenn Variablen im Spiel sind.

Beispiele:

\[1. \quad \frac{ax+abx-ac}{az}=\frac{a(x+bx-c)}{az}=\frac{\frac{a(x+bx-c)}{a}}{\frac{az}{a}}=\frac{x+bx-c}{z}\]

\[2. \quad \frac{az}{ax+abx-ac}= \frac{az}{a(x+bx-c)}= \frac{\frac{az}{a}}{\frac{a(x+bx-c)}{a}}=\frac{z}{x+bx-c}\]

\[3. \quad \frac{\left( a+b \right)z+\left( a+b \right)uv}{\left( a+b \right)x+\left( a+b \right){{x}^{2}}-\left( a+b \right)c}=\frac{(a+b)(z+uv)}{(a+b)(x+x^2-c)}=\frac{z+uv}{x+{{x}^{2}}-c}\]

\[4. \quad \frac{{{\left( a+b \right)}^{4}}z}{\left( a+b \right)x+\left( a+b \right){{x}^{2}}-\left( a+b \right)c}=\frac{(a+b) \cdot (a+b)^3z}{(a+b)(x+x^2-c)}=\frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}z}{x+{{x}^{2}}-c}\]

Bemerkungen:

• Bei den ersten beiden obigen Beispielen wurde im Zähler und Nenner im ersten Schritt \(a\) ausgeklammert. Dadurch konnte danach im zweiten Schritt der Faktor \(a\) gekürzt werden. Wie man einen Faktor ausklammert, finden sie hier.
• Beim dritten Beispiel wurde im Zähler und Nenner der Term \((a+b)\) ausgeklammert. Im vierten Beispiel wird im Zähler der Term \((a+b)\) ausgeklammert, indem \((a+b)^4\) umgeschrieben wird zu \((a+b)^4=(a+b) \cdot (a+b)^3\). Dadurch konnte danach im zweiten Schritt sowohl beim dritten als auch beim vierten Beispiel der Term \((a+b)\) gekürzt werden. Wie man einen Term ausklammert, finden sie hier.

 

2. Addition und Subtraktion von Brüchen

In diesem Kapitel wird diskutiert, wie zwei Brüche (zu einem einzigen Bruch) addiert werden können. Analog wird gezeigt, wie die Subtraktion zweier Brüche zu einem Bruch umgeschrieben werden kann.

Allerdings müssen die beiden Brüche nicht notwendigerweise den gleichen Nenner vorweisen. In diesem Falle hilft Regel 3 weiter.

Diese beiden Regeln funktionieren auch, wenn im Zähler resp. Nenner der Brüche ganze Terme stehen:

Beispiel

Die zwei Brüche \(\frac{a}{x-y}\) und \(\frac{b}{x+y}\) sollen addiert werden. Für eine Addition müssen die beiden Brüche den gleichen Nenner aufweisen, was in diesem Beispiel nicht der Fall ist. Es muss nun als Erstes überlegt werden, wie der gemeinsame Nenner aussieht. Am einfachsten geht dies, indem man die beiden Nenner miteinander multipliziert, sodass der gemeinsame Nenner \((x-y)\cdot (x+y)\) ist. Es müssen aber auch die beiden Zähler jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs multipliziert werden. Danach können die beiden Zähler addiert werden und im Nenner steht der gemeinsame Nenner.

\[\frac{a}{x-y}+\frac{b}{x+y}=\frac{a\cdot \left( x+y \right)}{\left( x-y \right)\cdot \left( x+y \right)}+\frac{b\cdot \left( x-y \right)}{\left( x+y \right)\cdot \left( x-y \right)}=\frac{a\cdot \left( x+y \right)+b\cdot \left( x-y \right)}{\left( x+y \right)\cdot \left( x-y \right)}\]

Bemerkungen:

• Im obigen Beispiel ist zu erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner des ersten Bruchs mit \((x+y) \) multipliziert wurde, also eigentlich der erste Bruch mit \(1\) multipliziert wurde (da \(\frac {x+y}{x+y}=1\) ist, solange \(x+y \neq 0\)). Dadurch hat sich der Wert dieses Bruchs nicht verändert. Analog wurde sowohl der Zähler als auch der Nenner des zweiten Bruchs mit \((x-y) \) multipliziert. Folglich wurde auch dieser zweite Bruch mit \(1\) multipliziert (da \(\frac {x-y}{x-y}=1\) ist, solange \(x-y \neq 0\)).
• Eine Subtraktion zweier Brüche würde analog berechnet, wie anhand des folgenden Beispiels zu sehen ist:

  \[\frac{a}{x-y}-\frac{b}{x+y}=\frac{a\cdot \left( x+y \right)}{\left( x-y \right)\cdot \left( x+y \right)}-\frac{b\cdot \left( x-y \right)}{\left( x+y \right)\cdot \left( x-y \right)}=\frac{a\cdot \left( x+y \right)-b\cdot \left( x-y \right)}{\left( x+y \right)\cdot \left( x-y \right)}\]

 

3. Multiplikation von Brüchen

Diese Regel funktioniert auch, wenn im Zähler resp. Nenner der Brüche ganze Terme stehen:

Beispiele

\[a\cdot \frac{b+c}{d-e}=\frac{a\cdot \left( b+c \right)}{d-e}=\frac{ab+ac}{d-e}\] \[\frac{a}{b}\cdot \frac{c+d}{e-f}=\frac{a\cdot \left( c+d \right)}{b\cdot \left( e-f \right)}=\frac{ac+ad}{be-bf}\] \[\frac{a+b}{c+d}\cdot \frac{e+f}{g+h}=\frac{(a+b)\cdot \left( e+f \right)}{(c+d)\cdot \left( g+h \right)}=\frac{ae+af+be+bf}{cg+ch+dg+dh}\]

 

4. Division von Brüchen (Doppelbrüche)

Beweis

Weshalb gilt Regel 5? Wenn wir den Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\] im Zähler und Nenner mit \(b \cdot d \) multiplizieren, also den gesamten Doppelbruch mit \(1=\frac {b \cdot d}{b \cdot d} \) multiplizieren, dann folgt daraus:

\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\cdot \frac{bd}{bd}=\frac{\frac{a}{b} \cdot bd}{\frac{c}{d} \cdot bd}=\frac{\frac{abd}{b}}{\frac{cbd}{d}}=\frac{ad}{cb}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}\]

Es gibt zwei Spezialfälle von Regel 5, wenn entweder im Zähler oder Nenner kein Bruch steht:

1)

$\frac{12x}{\left( 9+3x \right)}=$

2)

$\frac{5a+20}{5}=$

3)

$\frac{28a-35b}{21}=$

4)

$\frac{{{y}^{2}}+2y-24}{{{y}^{2}}-6y+8}=$

5)

$\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\cdot \frac{6x}{3xy-3{{x}^{2}}}=$

6)

$\large \frac{\frac{a-b}{{{a}^{2}}}}{\text{ }\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{3}}}}=$

7)

$\large \frac{x+\frac{1}{3}}{x-\frac{1}{3}}=$

8)

$\large \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}=$

9)

$\large \frac{3a}{\frac{4b}{{{c}^{2}}}}=$

10)

$\large \frac{\frac{c}{b+c}}{\frac{2c}{{{b}^{2}}+bc}}=$

Lösungen

 

Der Umgang mit Brüchen wird auch auf der folgenden Webseite thematisiert:

www.mathe-online.at/lernpfade/Bruchrechnen/